Разбор задач с отбора на стажировку по аналитике

2022 разработчика образуют 16 команд. Каждый из них написал в статусе в Slack общее количество разработчиков в его команде. Чему равна сумма чисел, обратных написанным в статусах? Каждый разработчик входит только в одну команду. В качестве ответа введите натуральное число или правильную дробь, например: ½.

Ответ: 16.

Решение. Заметим, что сумма чисел, обратных написанным в статусах у разработчиков из одной команды, равна 1. Значит, сумма всех чисел равна 16, по количеству команд.

Вычислите сумму: 1²+2²-3²-4²+5²+6²-7²-8²+9²+10²-…+2021²+2022².

Ответ: 4090505.

Решение. Заметим, что для любого k верно равенство k²-(k+1)²-(k+2)²+(k+3)²=4. Поэтому вся сумма равна 1+505*4+2022²= 4090505.

За круглый стол случайным образом садятся 50 аналитиков и 50 разработчиков. Разработчик начинает кодить, если рядом с ним сидит хотя бы один аналитик. Найдите математическое ожидание числа кодящих разработчиков. В качестве ответа введите натуральное число или несократимую дробь, например: ½.

Ответ: 1250/33.

Решение. Вероятность для одного разработчика не начать кодить равна 49 / 99 × 48 / 98= 8/33. Значит, вероятность начать кодить -1 − 8 / 33 = 25/33. В силу линейности матожидания, для 50 разработчиков матожидание равно 50 × 25 / 33 = 1250/33.

Решите в натуральных числах уравнение: 3xy² + 9xy + y² + 6x + 3y = 2020. В качестве ответа запишите число 100x+y.

Ответ: 11201.

Решение. Прибавим к обеим частям 2 и разложим на множители. Получим (3x + 1) (y + 1) (y + 2) = 2022. Разложим 2022 на простые множители: 2022 = 2 × 3 × 337. Заметим, что в силу натуральности x первая скобка может равняться только 337. Отсюда находим x = 112, y = 1.

Аня просит Лешу выбрать k различных чисел от 1 до 24. Если после этого Аня может среди выбранных чисел найти два, сумма которых является простым числом, то она выигрывает. Если нет, то выигрывает Леша. При каком наименьшем k Аня сможет гарантированно выиграть?

Ответ: 13.

Решение. Если k меньше 13, то Леша может взять все четные числа (их будет хотя бы два) и Аня не сможет выиграть. Если чисел хотя бы 13, то точно будет выбрана одна из пар, в которых сумма простая: (1, 22) (2, 21) (3, 8) (4, 7) (5, 6) (9, 14) (10, 13) (11, 12) (15, 16) (17, 20) (18, 19) (23, 24).

В 14:00 Аня пришла в столовую и встала в очередь. В 14:02 Аня поняла, что за ней все еще никто не стоит, и залипла в телефон. В 14:10 Аня подняла голову и увидела, что в очереди за ней стоит Варя, а за ней — Таня, которая пришла позже. Найдите вероятность того, что к 14:10 Таня стояла в очереди не более 4 минут. Время появления Тани и Вари в столовой распределено равномерно на допустимом промежутке. В качестве ответа введите правильную несократимую дробь, например: ½.

P. S. По определению вероятности, она может принимать значения от 0 до 1.

Ответ: ¾.

Решение. Обозначим через x и y время, когда пришли Варя и Таня соответственно.

По условию 2 < x < y < 10. Изобразим соответствующую фигуру в системе координат xOy. Получим треугольник ABC.

Нужно найти вероятность события (y ≥ 6). Отметим его на рисунке и увидим, что внутри треугольника оно изображается трапецией EBCD. Легко найти, что

Аня взяла тетраэдр ABCD с ребром √2 и провела в нем прямую l, соединяющую середины противоположных ребер AB и CD. Леша нарисовал тетраэдр A1B1C1D1, который получился поворотом тетраэдра ABCD относительно прямой l на 90°.

Найдите объем фигуры, которая является пересечением тетраэдров ABCD и A1B1C1D1.

Ответ: 1/6.

Решение. Проведем через противоположные ребра тетраэдров пары параллельных плоскостей. Получим, что наш тетраэдр вписан в куб со стороной 1. Тогда результат поворота — второй тетраэдр, вписанный в тот же куб. Их пересечение — многогранник, вершины которого — центры граней куба, то есть октаэдр. Нетрудно посчитать, что он занимает 1/6 объема куба.